Unendliche Diedergruppe

Die unendliche Diedergruppe ist eine im mathematischen Teilgebiet der Gruppentheorie betrachtete Gruppe. Es handelt sich um eine abzählbar unendliche Version der Diedergruppen.

Geometrische Definition

So wie die Diedergruppen ${\displaystyle D_{n}}$ als die Symmetriegruppen einer geometrischen Figur, nämlich eines regelmäßigen n-Ecks, eingeführt werden können, kann die unendliche Diedergruppe ${\displaystyle D_{\infty }}$ als die Gruppe aller Isometrien, die eine Teilmenge eines euklidischen Raums in sich abbilden, definiert werden. ${\displaystyle D_{\infty }}$ ist die Gruppe aller Isometrien auf ${\displaystyle \mathbb {R} =\mathbb {R} ^{1}}$, die ${\displaystyle \mathbb {Z} \subset \mathbb {R} }$ in sich abbilden.

Diese Isometrien sind Translationen um ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \tau _{n}\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ,\quad x\mapsto x n}$

für eine ganze Zahl ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$ und Spiegelungen an ${\displaystyle n/2}$

${\displaystyle \sigma _{n}\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ,\quad x\mapsto n-x}$

für eine ganze Zahl ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$. Die Gruppe dieser Isometrien heißt die unendliche Diedergruppe ${\displaystyle D_{\infty }}$. Manche Autoren bezeichnen diese Gruppe mit ${\displaystyle D_{0}}$ oder nach der englischen Bezeichnung „dihedral group“ für Diedergruppe auch mit ${\displaystyle \mathrm {Dih} _{\infty }}$.

Die unendliche Diedergruppe wird schon von ${\displaystyle \tau :=\tau _{1}}$ und ${\displaystyle \sigma :=\sigma _{0}}$ erzeugt, denn offenbar gilt

${\displaystyle \tau _{n}=\tau \circ \ldots \circ \tau }$, n-fache Hinteinanderausführung für ${\displaystyle n>0}$

${\displaystyle \tau _{n}=\tau _{-n}^{-1}}$ für ${\displaystyle n<0}$

${\displaystyle \tau _{0}}$ ist das neutrale Element

${\displaystyle \sigma _{n}=\tau _{n}\circ \sigma }$ für alle ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$,

das heißt, die von ${\displaystyle \{\tau ,\sigma \}}$ erzeugte Untergruppe enthält bereits alle Isometrien ${\displaystyle \tau _{n}}$ und ${\displaystyle \sigma _{n}}$ und das heißt, dass ${\displaystyle D_{\infty }}$ von ${\displaystyle \tau }$ und ${\displaystyle \sigma }$ erzeugt wird.

Ferner besteht die Beziehung

${\displaystyle \sigma \circ \tau \circ \sigma =\tau ^{-1}}$,

denn für jedes ${\displaystyle r\in \mathbb {R} }$ gilt

${\displaystyle \sigma (\tau (\sigma (r)))=\sigma (\tau (-r))=\sigma (-r 1)=r-1=\tau ^{-1}(r)}$,

und es gilt

${\displaystyle \sigma ^{2}=1}$,

wobei 1 das neutrale Element bezeichne, denn ${\displaystyle \sigma }$ ist eine Spiegelung.

D_∞ als Untergruppe der Symmetriegruppe des Kreises

Sei ${\displaystyle s}$ die Spiegelung des Einheitskreises an der x-Achse und ${\displaystyle d}$ eine Drehung des Kreises um ${\displaystyle 2\pi r}$ für eine irrationale Zahl ${\displaystyle r}$. Die von ${\displaystyle d}$ erzeugte zyklische Untergruppe der Symmetriegruppe des Kreises ist wegen der Irrationalität von ${\displaystyle r}$ unendlich und daher zu ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ isomorph. Dann gilt offenbar

${\displaystyle s^{2}=1,\,sds=d^{-1}}$

und man kann zeigen, dass ${\displaystyle \sigma \mapsto s,\,\tau \mapsto d}$ einen Isomorphismus von ${\displaystyle D_{\infty }}$ auf die von ${\displaystyle \{s,d\}}$ erzeugte Untergruppe der Symmetriegruppe des Kreises definiert. Insbesondere hängt deren Isomorphieklasse nicht von der Wahl der irrationalen Zahl ${\displaystyle r}$ ab.

Präsentationen von D_∞

Nach Obigem erfüllen die Erzeuger ${\displaystyle \tau }$ und ${\displaystyle \sigma }$ die Relationen

${\displaystyle \sigma \circ \tau \circ \sigma =\tau ^{-1}}$   und   ${\displaystyle \sigma ^{2}=1}$.

Man kann zeigen, dass keine weiteren, davon unabhängigen Relationen bestehen. Präzise heißt das, dass ${\displaystyle D_{\infty }}$ die Präsentation

${\displaystyle D_{\infty }\,=\,\langle x,y\mid x^{2}=1,\,xyx=y^{-1}\rangle }$

besitzt. Die zweite Relation kann man wegen ${\displaystyle x^{2}=1}$ auch als ${\displaystyle xy=y^{-1}x}$ schreiben. Jedes Produkt aus den Erzeugern ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle y}$ kann daher durch wiederholte Anwendung der Relationen auf die Form ${\displaystyle x^{i}y^{n}}$ mit ${\displaystyle i\in \{0,1\}}$ und ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$ gebracht werden. Für das Rechnen in der Gruppe gilt demnach

${\displaystyle D_{\infty }=\{x^{i}y^{n}\mid i\in \{0,1\},n\in \mathbb {Z} \}}$   und   ${\displaystyle x^{i}y^{n}\cdot x^{j}y^{m}=x^{i j}y^{(1-2j)n m}}$,

wobei der Exponent ${\displaystyle i j}$ modulo 2 zu verstehen ist.

Setzt man ${\displaystyle z:=xy}$, so ist

${\displaystyle z^{2}=xyxy=y^{-1}y=1}$.

Da man umgekehrt das Element ${\displaystyle y}$ mittels ${\displaystyle y=xz}$ aus ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle z}$ zurückgewinnen kann, wird ${\displaystyle D_{\infty }}$ von den zwei Involutionen ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle z}$, das heißt von Elementen, deren Quadrat das neutrale Element ist, erzeugt, und man kann sich überlegen, dass keine weiteren Relationen bestehen. Wir erhalten also eine zweite Präsentation

${\displaystyle D_{\infty }=\langle x,z\mid x^{2}=1,\,z^{2}=1\rangle }$.

Demnach ist die unendliche Diedergruppe die größte von zwei Involutionen erzeugte Gruppe, jede andere ist isomorph zu einer Faktorgruppe davon.

Geometrisch entspricht der Erzeuger ${\displaystyle z}$ dem Produkt ${\displaystyle \sigma \tau }$, und das ist die Spiegelung an ${\displaystyle \textstyle -{\frac {1}{2}}}$. Die oben geometrisch beschriebene unendliche Diedergruppe wird also auch von den beiden Spiegelungen an 0 und ${\displaystyle \textstyle -{\frac {1}{2}}}$ erzeugt. Das wird sofort verständlich, indem man sich klarmacht, dass die Spiegelung an ${\displaystyle \textstyle -{\frac {1}{2}}}$, gefolgt von der Spiegelung an 0, nichts anderes als die Translation um 1 ist.

D_∞ als semidirektes Produkt

Betrachte den Homomorphismus ${\displaystyle \alpha \colon \mathbb {Z} _{2}\rightarrow \mathrm {Aut} (\mathbb {Z} )}$ von der Gruppe ℤ₂ in die Automorphismengruppe von ${\displaystyle \mathbb {Z} }$, der die Restklasse von 1 auf ${\displaystyle \alpha _{1}\colon \mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} ,\,n\mapsto -n}$ abbildet. Mit diesem ${\displaystyle \alpha }$ bilde das semidirekte Produkt

${\displaystyle \mathbb {Z} \rtimes _{\alpha }\mathbb {Z} _{2}:=\{(n,i)\mid n\in \mathbb {Z} ,i\in \{0,1\}\}}$.

Die Verknüpfung ist bekanntlich durch die Formel

${\displaystyle (n,i)\cdot (m,j):=(n \alpha _{i}(m),i j)}$

definiert, wobei ${\displaystyle \alpha _{0}:=\mathrm {id} _{\mathbb {Z} }}$ und die Summe ${\displaystyle i j}$ modulo 2 zu verstehen ist. Daraus liest man die Isomorphie zu ${\displaystyle D_{\infty }}$ ab.

Nun ist obiges ${\displaystyle \alpha \colon \mathbb {Z} _{2}\rightarrow \mathrm {Aut} (\mathbb {Z} )}$ sogar ein Isomorphismus, denn neben ${\displaystyle \alpha _{1}}$ gibt es keine weiteren nichttrivialen Automorphismen auf ${\displaystyle \mathbb {Z} }$.

Daher ist ${\displaystyle D_{\infty }}$ der Holomorph von ${\displaystyle \mathbb {Z} }$, das heißt

${\displaystyle D_{\infty }\cong \mathbb {Z} \rtimes _{\alpha }\mathbb {Z} _{2}\cong \mathbb {Z} \rtimes \mathrm {Aut} (\mathbb {Z} )=\mathrm {Hol} (\mathbb {Z} )}$.

D_∞ als freies Produkt

Die unendliche Diedergruppe ist das kleinste denkbare freie Produkt nichttrivialer Gruppen, es gilt

${\displaystyle D_{\infty }\cong \mathbb {Z} _{2}*\mathbb {Z} _{2}}$.

Es ist klar, dass ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}*\mathbb {Z} _{2}}$ von zwei Involutionen erzeugt wird. Daher erhält man aus obiger Präsentation einen Epimorphismus ${\displaystyle D_{\infty }\rightarrow \mathbb {Z} _{2}*\mathbb {Z} _{2}}$, von dem man zeigt, dass er ein Isomorphismus ist. Manche Autoren definieren die unendliche Diedergruppe auf diese Weise.

D_∞ als Matrizengruppe

Wir betrachten die Menge

${\displaystyle M:={\bigl \{}{\begin{pmatrix}e&n\\0&1\end{pmatrix}};\,e\in \{-1, 1\},n\in \mathbb {Z} {\bigr \}}}$

von ${\displaystyle 2\times 2}$-Matrizen. Das Matrizenprodukt

${\displaystyle {\begin{pmatrix}(-1)^{i}&n\\0&1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}(-1)^{j}&m\\0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}(-1)^{i j}&(-1)^{i}m n\\0&1\end{pmatrix}}}$

zeigt, dass die Menge ${\displaystyle M}$ mit dem Matrizenprodukt als Multiplikation eine zu ${\displaystyle D_{\infty }}$ isomorphe Gruppe ist.

Untergruppen von D_∞

Die unendliche Diedergruppe ${\displaystyle D_{\infty }=\langle x,y\mid x^{2}=1,\,xyx=y^{-1}\rangle }$ enthält folgende Untergruppen (${\displaystyle k,n,r}$ ganze Zahlen):

${\displaystyle U_{k}:=\langle y^{k}\rangle }$   für   ${\displaystyle k\geq 0}$,

${\displaystyle V_{0,n}:=\langle y^{n}x\rangle \cong \mathbb {Z} _{2}}$   für   ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$,

${\displaystyle V_{k,r}:=\langle y^{k},y^{r}x\rangle \cong D_{\infty }}$   für   ${\displaystyle 0\leq r$.

Das sind bereits alle Untergruppen von ${\displaystyle D_{\infty }}$.

Wegen ${\displaystyle \{1\}\leq \langle y\rangle \leq D_{\infty }}$ mit ${\displaystyle D_{\infty }/\langle y\rangle \cong \mathbb {Z} _{2}}$ ist die unendliche Diedergruppe auflösbar, sogar überauflösbar, metabelsch und polyzyklisch.

Einzelnachweise